基于 $\mathfrak{sl}(2)$ 的 Lie-Hamilton 系统 Poisson-Hopf 形变的统一方法

基于最近发展的一种构造 Lie-Hamilton 系统 Poisson-Hopf 形变的方法，本文提出了一种新的统一方法，用于处理实平面上 Vessiot-Guldberg Lie 代数同构于 $\mathfrak{sl}(2)$ 的 Lie-Hamilton 系统的非等价形变。特别地，这允许我们根据参数化的 Poisson 代数表示族来定义 Poisson-Hopf 系统的概念。通过将其应用于 $\mathfrak{sl}(2)$ Lie-Hamilton 系统的三个非微分同胚类，我们显式地阐明了这种方法。我们的结果涵盖了 Ermakov 系统、Milne-Pinney、Kummer-Schwarz 和若干 Riccati 方程以及谐振子（均具有 $t$ 相关系数）的形变。此外，还给出了 $t$ 无关的运动常数。我们的方法也可用于生成其他 Lie-Hamilton 系统及其形变，以及其他 Vessiot-Guldberg Lie 代数及其形变。