从'书'与振荡代数中得到的广义 Buchdahl 方程作为 Lie-Hamilton 系统：量子形变及其一般解

我们从 Lie-Hamilton 系统的视角重新审视非线性二阶常微分方程 $$\ddot{x}(t)=a (x )\dot{x}(t)^2+b(t)\dot{x}(t)$$其中 $a(x)$ 和 $b(t)$ 为其参数上的任意函数。对于特定选择 $a(x)=3/x$ 和 $b(t)=1/t$，这些方程化为广义相对论语境下考虑的 Buchdahl 方程。证明这些方程关联到 'book' Lie 代数 $\mathfrak{b}_2$，确定相应的 $t$-依赖哈密顿量及其一般解。通过考虑 $\mathfrak{b}_2$ 的量子形变（形变参数为 $z$，其中 $q={\rm e}^z$），推导了对应的形变广义 Buchdahl 方程。应用 Poisson-Hopf 形变 Lie-Hamilton 系统的形式主义，导出相应的形变 $t$-依赖哈密顿量及其一般解。广义 Buchdahl 方程进一步扩展到振荡 Lie-Hamilton 代数 $\mathfrak{h}_4\supset \mathfrak{b}_2$ 及其量子形变，相应的（形变）方程也被分析用于求解。量子形变参数 $z$ 的存在被解释为对（初始）广义 Buchdahl 方程引入可积扰动，其在线性近似中详述。最后，还证明在量子形变下，来自 'book' 或振荡代数的高维形变广义 Buchdahl 方程不会化为初始系统的若干副本之和，而是由 $z$ 主导的内在耦合系统。