凸集极对合的一个拓扑学洞察

记 $\mathcal{K}_0^n$ 为所有包含原点 $0\in\mathbb R^n$ 的闭凸集 $A\subset\mathbb{R}^n$ 的族。对 $A\in\mathcal{K}_0^n$，其极集记为 $A^\circ$。本文中，我们研究极映射 $A\to A^\circ$ 在 $(\mathcal{K}_0^n, d_{AW})$ 上的拓扑性质，其中 $d_{AW}$ 表示 Attouch-Wets 度量。我们证明 $(\mathcal{K}_0^n, d_{AW})$ 同胚于 Hilbert 立方体 $Q=\prod_{i=1}^{\infty}[-1,1]$，且极映射与标准基于点的自由对合 $\sigma:Q\rightarrow Q$（定义为对所有 $x\in Q$ 有 $\sigma(x)=-x$）拓扑共轭。我们还证明在 $\mathcal K^n_0$ 上反包含对合（亦称对偶）中，恰那些具有唯一不动点的与极映射拓扑共轭，且它们可刻画为所有形如 $f(A)=T(A^{\circ})$ 的映射 $f:\mathcal{K}_0^n\to \mathcal{K}_0^n$，其中 $T$ 是 $\mathbb R^n$ 的正定线性同构。