迭代Minkowski和、horoball与南北动力学

给定群 $\Gamma$ 的一个有限生成集 $A$，我们将映射 $W \mapsto WA$ 作为一个拓扑动力系统来研究——它是 $\Gamma$ 子集的紧可度量空间上的连续自映射。若集合 $A$ 作为半群生成 $\Gamma$ 且包含单位元，则恰有两个不动点，其中一个为吸引的。这支持了该系统动力学相当平凡的初步印象。确实，至少当 $\Gamma= \mathbb{Z}^d$ 且 $A \subseteq \mathbb{Z}^d$ 为含自然可逆扩张的有限正生成集时，映射 $W \mapsto W+A$ 总是拓扑共轭于Cantor集上唯一的“南北”动力学。与此相反，我们表明该映射的动力学可恢复出有限生成群 $(\Gamma,A)$ 的多种自然“几何”性质，特别是 $\Gamma$ 的增长类型与顺从性。当 $\Gamma = \mathbb{Z}^d$ 时，我们证明生成集 $A$ 凸包的体积极拓扑共轭的不变量。我们的研究引入、利用并发展了群 $\Gamma$ 子集上的某种凸性结构，关联于我们称之为集合的遮蔽包(sheltered hull)的新概念。我们还将此研究与有限生成群中horoball的结构相联系，聚焦于阿贝尔情形。