Hopf wreath 积与稳定有限性猜想

我们研究有限生成群的 wreath 积的 Hopf 性质，聚焦于阿贝尔基群的情形。我们的主要结果建立了该问题与 Kaplansky 稳定有限性猜想之间的强联系。即，后者成立当且仅当对每个有限生成阿贝尔群 $A$ 与每个有限生成 Hopfian 群 $\Gamma$，wreath 积 $A \wr \Gamma$ 是 Hopfian 的。事实上，我们精确地刻画了 $A \wr \Gamma$ 何时为 Hopfian，其判据为对某些矩阵代数中单侧单位的存在性，这些代数定义在 $\mathbb{F}_p[\Gamma]$ 上，其中 $p$ 取遍作为 $A$ 中某元素阶出现的每个素数。我们论证中的一个工具是正特征域局部嵌入到 $\mathbb{F}_p$ 上的矩阵代数中这一事实，从而将稳定有限性猜想归约到 $\mathbb{F}_p$ 的情形。该结果的进一步应用表明，Kaplansky 稳定有限性猜想的有效性等价于加性元胞自动机的 Gottschalk 满射性猜想的一个版本。