$\mathrm{RCD}(K,N)$ 空间上的 Talenti 型比较定理及其应用

我们针对定义于（可能非光滑的）具有正 Ricci 曲率的空间（更确切地说，为 $K>0$ 且 $N\in (1,\infty)$ 的 $\mathrm{RCD}(K,N)$ 度量测度空间）的开子集上的椭圆 Dirichlet 问题解，证明了点态与 $L^{p}$-梯度比较结果。所获得的 Talenti 型比较关于 $L^{2}$/测度-Gromov-Hausdorff 拓扑是尖锐、刚性且稳定的；此外，即便对光滑黎曼流形而言，若干方面也似为新颖。作为此类 Talenti 型比较的应用，我们证明了一系列改进的 Sobolev 型不等式，以及 St.~Venant-Pólya 扭转刚度比较定理的 $\mathrm{RCD}$ 版本（附带相应的刚性与稳定性结论）。最后，我们在光滑黎曼流形背景下，就上述比较结果给出了以从开子集出发的布朗运动退出时间表述的概率解释。