非捕获渐近锥流形上薛定谔方程的 Strichartz 不等式

我们对任意在无穷远渐近锥且非捕获的光滑三维黎曼流形 $(M,g)$ 获得一个 $L^4$ 时空 Strichartz 不等式,其中 $u$ 是薛定谔方程 $iu_t + {1/2} \Delta_M u = 0$ 的解。由伸缩考量,指数 $H^{1/4}(M)$ 是尖锐的。特别地,我们的结果涵盖渐近平坦非捕获流形。我们的论证基于 Colliander 等人引入的相互作用 Morawetz 不等式,此处诠释为解与其自身的张量积 $U(t,z',z'') := u(t,z') u(t,z'')$ 的正交换子不等式。我们还使用了薛定谔解的平滑估计,包括此处证明的一个新的在无穷远具有权 $r^{-1}$ 且梯度项仅涉及一个角向导数的估计。