外区域上非线性Schrödinger方程的渐近行为

摘要 我们考虑外区域上的如下非线性Schrödinger方程。\begin{equation} \begin{cases} iu_t+\Delta_g u + ia(x)u - |u|^{p-1}u = 0 \qquad (x,t) \in \Omega\times (0,+\infty), \qquad (1)\cr u\big|_\Gamma = 0\qquad t \in (0,+\infty), \cr u(x,0) = u_0(x)\qquad x \in \Omega, \end{cases} \end{equation} 其中 $1<p<\frac{n+2}{n-2}$，$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ($n\ge3$) 为外区域，且 $(\mathbb{R}^n,g)$ 为完备Riemann流形。我们对系统(1)在无耗散情形（$a(x)\equiv 0$）建立了Morawetz估计，同时证明了系统(1)在无穷远邻域上有效耗散时的指数稳定性。值得指出的是，我们的结果不同于已有研究。首先，系统(1)的Morawetz估计直接由度量 $g$ 导出，且不依赖于（渐近）Euclidean度量的假设。此外，我们不仅证明了系统(1)具有依赖于初值非一致能量衰减率的指数稳定性，也证明了系统(1)具有一致能量衰减率的指数稳定性。主要方法为非（渐近）Euclidean空间中Morawetz乘子的构造与紧性-唯一性论证。