具有时空非局部算子的随机偏微分方程的 Sobolev 空间理论

我们研究由 Wiener 过程驱动的随机偏微分方程 (SPDE) 的 Sobolev 空间理论：$$\partial_{t}^{\alpha}u=\left( \phi(\Delta) u +f(u) \right) + \partial_t^\beta \sum_{k=1}^\infty \int_0^t g^k(u)\,dw_s^k, \quad t>0, x\in \mathbb{R}^d; \,\,\,\, u(0,\cdot)=u_0$$ 以及由时空白噪声驱动的 SPDE $$\partial^{\alpha}_{t}u=\phi(\Delta)u + f(u) + \partial^{\beta-1}_{t}h(u) \dot{W}, \quad t>0,x\in \mathbb{R}^d; \quad u(0,\cdot)=u_{0}.$$ 这里，$\alpha\in (0,1), \beta\in (-\infty, \alpha+1/2)$， $\{w_t^k : k=1,2,\cdots\}$ 是一族独立的一维 Wiener 过程，$\dot{W}$ 是定义在 $[0,\infty)\times \mathbb{R}^d$ 上的时空白噪声。时间非局部算子 $\partial_{t}^{\gamma}$ 在 $\gamma>0$ 时表示 Caputo 分数阶导数，在 $\gamma\leq0$ 时表示 Riemann-Liouville 分数阶积分。空间非局部算子 $\phi(\Delta)$ 是一类积分微分算子，其符号为 $-\phi(|\xi|^2)$，其中 $\phi$ 是满足 \begin{equation*} \kappa_0\left(\frac{R}{r}\right)^{\delta_{0}} \leq \frac{\phi(R)}{\phi(r)}, \qquad \forall\,\, 0<r<R<\infty \end{equation*} 的 Bernstein 函数，其中某些常数 $\kappa_0>0$ 且 $\delta_0\in (0,1]$。我们证明了 Sobolev 空间中的唯一性与存在性结果，并获得了解的最大正则性结果。