Dirichlet 面积最小化问题的奇异扰动方法

我们研究了一相与两相最小化者的 Dirichlet 能量问题。$$E(v) = \int_{B_1} |\nabla v|^2 + Per(\{v>0\},B_1).$$ 在两相情形下，我们证明能量 $$E_{\varepsilon}(v) = \int_{B_1}|\nabla v|^2 + \frac{1}{\varepsilon}W\left(\frac{v}{\varepsilon^{1/2}}\right),$$ 在 $\varepsilon \to 0$ 时 $\Gamma$-收敛于 $E$，其中 $W$ 为在 $[-1,1]$ 之外扩展为零的双井势。由此，我们证明有界局部最小化者 $E_{\varepsilon}$ 收敛于 $E$ 的局部最小化者。