将 Hamilton 系统变为双 Hamilton 系统的一种简单方法

给定 Poisson 结构（或等价地，Hamilton 算子）$P$，我们证明它沿向量场 $\tau$ 的 Lie 导数 $L_{\tau}(P)$ 定义另一个 Poisson 结构，且当且仅当 $[L_{\tau}^2(P),P]=0$ 时该结构与 $P$ 自动相容，其中 $[\cdot,\cdot]$ 为 Schouten 括号。我们进一步证明：若 $\dim\ker P\leq 1$ 且 $P$ 为局部常秩，则有限维流形 $M$ 上所有与给定 Poisson 结构 $P$ 相容的 Poisson 结构局部均形如 $L_{\tau}(P)$，其中 $\tau$ 为局部向量场且满足 $L_{\tau}^2(P)=L_{\tilde\tau}(P)$（$\tilde\tau$ 为另一局部向量场）。这给出了双 Hamilton 动力系统的一种极为简单的构造。我们还将这些结果推广至无限维情形。特别地，我们对 Dubrovin--Novikov 型的相容局部 Hamilton 算子束及相关的双 Hamilton 水动力型系统给出了新的描述。关键词：相容 Poisson 结构，Hamilton 算子，双 Hamilton 系统（=双 Hamilton 系统），可积性，Schouten 括号，主对称性，Lichnerowicz--Poisson 上同调，水动力型系统。MSC 2000： Primary: 37K10；Secondary: 37K05, 37J35