DR 层次的双哈姆顿结构研究——半单情形

关于与半单协同场理论 (CohFT) 相关的可积系统的两种方法，其中一种是 Dubrovin 与 Zhang 提出的，另一种是近期使用双Ramification (DR) 循环几何所提出的。后者具有显式性优势。DR 层次的泊松算子为 $\eta^{-1} \partial_x$，其中 $\eta$ 为 CohFT 的度量；哈密顿量则明确定义为 CohFT 与 DR 循环、顶级霍夫类 $\lambda_g$ 以及 psi 类幂次的交叉数生成函数。关于 DR 层次是否具备双哈姆顿结构的问题一直备受挑战。在此前与 S. Shadrin 合作的研究中，当 CohFT 为齐次时，我们提出了一个显式的微分算子公式并 conjectured 其将提供所需的双哈姆顿结构。本文证明了该 conjecture。我们的证明基于两个最近证明的结论：在米氏变换下，DR 层次与半单 CohFT 的 Dubrovin-Zhang 层次等价；以及齐次半单 CohFT 的 Dubrovin-Zhang 层次第二个泊松括号的多项式性。因此，我们的第二个泊松括号通过 DR/DZ 等价性与 Dubrovin-Zhang 层次的第二个泊松括号一致，为其双哈姆顿结构提供了一个极其显式的途径。