通过 bi-Poisson 归约实现 bi-Hamiltonian 系统的局部双可积性

我们证明，对于任何关于所有 Poisson 括号 $\mathcal{A} + \lambda \mathcal{B}$ 均为 Hamiltonian 的 bi-Hamiltonian 系统 $v = \left(\mathcal{A} + \lambda \mathcal{B}\right)dH_{\lambda}$，无论是在 Poisson 铅笔 $\mathcal{P} = \left\{\mathcal{A} + \lambda \mathcal{B}\right\}$ 的所有特征值均为实数的实光滑情形下，还是在复解析情形下，其均是局部双可积的。通过扩展由 Poisson 括号的 Casimir 函数、Poisson 铅笔的特征值以及 Hamiltonian 组成的标准积分集合，构造出了一个双对合的完备函数集。