Billingsley定理的一个简单直接证明

Billingsley定理（1972）断言，当 $n \to \infty$ 时，从1到 $n$ 中均匀随机选取的整数的最大素因子、第二大素因子等的相对对数大小所构成的过程，其极限为Poisson-Dirichlet过程。本文给出一个新的证明，直接利用Dickman关于无大于 $n^{1/u}$ 的素因子的此类整数个数的渐近公式，即 $\Psi(n,n^{1/u}) \sim n \rho(u)$，来推导对数素因子过程的有限维投影的极限联合密度函数。我们的主要技术工具是一个关于非格点离散随机变量向连续随机变量依分布收敛的新准则。