关于Arratia耦合与随机整数因子的狄利克雷定律

设$x \ge 2$，令$N_x$是从集合$\mathbb Z \cap [1, x]$中均匀随机选取的整数，并令$(V_1, V_2, \ldots)$是参数为$1$的泊松-狄利克雷过程。我们证明存在这两个随机对象的一个耦合，使得$$\mathbb E \, \sum_{i \ge 1} |\log P_i- V_i\log x| \asymp 1,$$其中隐含常数是绝对的，且$N_x = P_1P_2 \cdots$是$N_x$分解为素数或1的唯一分解，其中$P_i$是非增的。这证实了Arratia在2002年的一个猜想（arXiv:1305.0941），他构造了一个耦合，使得上述估计中的左侧为$\ll \log\!\log x$，并且他还证明了对于所有耦合，左侧都$\ge 1-o(1)$。此外，我们利用我们改进的耦合，给出了Leung在2023年证明的（arXiv:2206.14728）整数分解为$k$部分的平均分布的狄利克雷定律的一个概率证明，并改进了其误差项。