$\mathbb{R}^d$ 中概率的 Dirichlet 曲线

如果 $\alpha$ 是 $\mathbb{R}^d$ 上的一个概率，且 $t>0$，考虑 Dirichlet 随机概率 $P_t\sim\mathcal{D}(t\alpha)$；其性质为：对于 $\mathbb{R}^d$ 的任何可测划分 $(A_0,\ldots,A_k)$，$(P_t(A_0),\ldots,P_t(A_k))$ 服从参数为 $(t\alpha(A_0)\ldots,t\alpha(A_k))$ 的 Dirichlet 分布。如果 $\int_{\mathbb{R}^d}\log(1+\|x\|)\alpha(dx)<\infty$，则 $\mathbb{R}^d$ 中的随机变量 $\int_{\mathbb{R}^d}xP_t(dx)$ 存在，我们将其分布记为 $\mu(t\alpha)$。与概率 $\alpha$ 关联的 Dirichlet 曲线是映射 $t\mapsto \mu(t\alpha)$。它具有诸如 $\lim_{t\searrow 0}\mu(t\alpha)=\alpha$ 以及当 $m=\int_{\mathbb{R}^d} x\alpha(dx)$ 存在时 $\lim_{t\rightarrow \infty}\mu(t\alpha)=\delta_m$ 等简单性质。本文首先证明，如果 $m$ 存在且 $\psi$ 是 $\mathbb{R}^d$ 上的凸函数，则 $t\mapsto \int_{\mathbb{R}^d}\psi(x)\mu(t\alpha)(dx)$ 是一个递减函数，这意味着 $t\mapsto \mu(t\alpha)$ 关于概率的 Strassen 凸序是递减的。本文的第二个目标是证明围绕以下问题的一组结果：如果对于某些 $0\leq s<t$ 有 $\mu(t\alpha)=\mu(s\alpha)$，我们能否断言 $\mu$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中服从 Cauchy 分布？