关于均匀随机整数素因子分解中的依赖量

在 1 到 $n$ 之间均匀分布的随机整数的素因子分解中存在多少依赖性？$n$ 个点的随机置换的循环分解中存在多少依赖性？Poisson-Dirichlet 过程与尺度不变 Poisson 过程之间有何关系？这三个问题在仅考虑小分量时的全变差距离意义下，以及在考虑所有分量时的 Wasserstein 距离意义下，本质上具有相同的答案。Wasserstein 距离是将依赖系统转变为独立系统所需的预期变更次数（插入和删除）。特别地，我们表明对于素数，粗略地说，$2+o(1)$ 次变更是将 1 到 $n$ 之间均匀分布的随机整数转换为随机整数 $\prod_{p \leq n} p^{Z_p}$ 的充要条件，其中因子 $p$ 的重数 $Z_p$ 服从几何分布，且所有 $Z_p$ 相互独立。这些变更以趋于 1 的概率包含一次删除以及期望为 $1+o(1)$ 的随机次数插入。证明 $2+\epsilon$ 次变更即足够的关键工具是将素数重数的无限独立模型与 $(0,\infty)$ 上的尺度不变 Poisson 过程进行耦合。此构造的一个推论是给出了 Billingsley 1972 年弱收敛结果中到 Poisson-Dirichlet 距离的第一个度量界。我们的界形式如下：存在某些耦合使得 $E \sum |\log P_i(n) - (\log n) V_i | = O(\log \log n)$，其中 $P_i$ 表示第 $i$ 大素因子，$V_i$ 表示 Poisson-Dirichlet 过程的第 $i$ 个分量。推测 $O(1)$ 是可以达到的。