基于多重强度对Billingsley定理的推广

设 $p_1 \ge p_2 \ge \dots$ 为从 $1$ 到 $n$ 中均匀选取的随机整数的素因子，并设 $$\frac{\log p_1}{\log n}, \frac{\log p_2}{\log n}, \dots$$ 为缩放后的对数因子序列。Billingsley定理（1972）的现代表述断言，当 $n \to \infty$ 时，其极限过程是参数 $\theta =1$ 的Poisson-Dirichlet过程。本文受Donnelly和Grimmett 1993年证明的启发，给出了一个新的证明，并将该结果推广到满足特定增长条件的赋范算术半群中元素的因子分解，此时极限Poisson-Dirichlet过程的参数 $\theta$ 不必为1。我们还对素因子个数偏离通常值 $\log \log n$ 条件下的普通整数，建立了参数 $\theta \ne 1$ 的Poisson-Dirichlet极限。我们论证的核心是一个纯概率引理，它给出了依分布收敛到Poisson-Dirichlet过程的一个新准则，数论应用作为直接推论紧随其后。该引理使用的要素与Donnelly和Grimmett所用的类似，但经过重新组织，以便后续的数论输入能被尽可能快地处理。这项工作的一个副产品是基于多重强度对Poisson-Dirichlet过程的一个新刻画。