关于耦合的马尔可夫构造

对于 $N\in\mathbb{N}$，令 $\pi_N$ 为 $\{1, 2, ..., N\}$ 的随机排列的不动点个数的分布。令 $\mathcal{P}$ 为参数为 1 的泊松分布。一个经典结果表明，对于大 $N$，$\pi_N$ 收敛到 $\mathcal{P}$，且在总变差意义下确有 $$\left\Vert \pi_N-\mathcal{P}\right\Vert_{\mathrm{tv}} \leq \frac{2^N}{(N+1)!}$$ 这意味着 $\pi_N$ 与 $\mathcal{P}$ 可以至少以此精度耦合。本文利用两条马尔可夫链的交织机制构造了这样一种耦合（一个长期未决的问题）。该方法对随机矩阵理论的相关问题展现出前景。