完全互无偏基系统的一个刚性性质

假设对于 $\mathbb C^d$ 中的某些单位向量 $b_1,\ldots b_n$，我们有对任意 $j\neq k$，$b_j$ 要么与 $b_k$ 正交，要么 $|\langle b_j,b_k\rangle|^2 = 1/d$（即 $b_j$ 与 $b_k$ 无偏）。我们证明若 $n=d(d+1)$，则这些向量必然构成一个完全互无偏基系统，也就是说，它们可以被排列成 $d+1$ 个正交基，彼此之间均互无偏。