关于某些代数结构自同态数目的一篇备忘录

在这些笔记中，我们考察如下问题：给定代数结构的范畴 $\mathcal C$（例如群、单子、部分群等）以及一个有理数 $r\in \mathbb Q$，是否存在一个元素 $x\in \mathcal C$，使得其自同态群 $\text{Aut}_{\mathcal C} (x)$ 的大小除以 $x$ 的大小（whatever that would means）等于 $r$？据我们所知，这一问题由 T\u{a}rn\u{a}uceanu 在群的范畴中提出。我们在演化代数、图、单子、部分群和偏序集的范畴中正面回答了这一问题。