三维 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 方程解的正则性准则及相关计算

我们考虑与受迫不可压缩三维 Navier-Stokes 方程耦合并由其驱动的三维 Cahn-Hilliard 方程。该组合被称为 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes (CHNS) 方程，在统计力学中用于模拟二元流体的运动。序参量 $\phi$ 的等值线中奇点（爆破）的潜在发展是一个开放问题。为解决此问题，我们证明了一个与三维不可压缩 Euler 方程的 Beale-Kato-Majda 定理 [Beale et al. Commun. Math. Phys., 94, 61-66 (1984)] 非常相似的定理。通过取整个二元系统能量的 $L^{\infty}$ 范数，记为 $E_{\infty}$，我们证明了 $\int_{0}^{t}E_{\infty}(\tau)\,d\tau$ 控制着完整三维系统解的正则性。我们对三维 CHNS 方程进行的直接数值模拟（DNS），针对 (a) 重力驱动的 Rayleigh-Taylor 不稳定性 和 (b) 恒定能量注入受迫，使用 $128^3$ 到 $512^3$ 个配置点，并在我们的 DNS 持续时间内，证实了 $E_{\infty}$ 在我们的计算所及范围内保持有界。