贝祖引理的一个精细化，及某些 $\mathbb{Q}$ 上四元数代数中的 3 阶元素

给定互素正整数 $d',d''$，贝祖引理告诉我们存在整数 $u,v$ 使得 $d'u-d''v=1$。我们证明，如有必要交换 $d'$ 与 $d''$，我们可选择 $u$ 和 $v$ 为勒夏数，即形如 $|\alpha|^2$，其中 $\alpha\in\mathbb{Z}[j]$，数域 $\mathbb{Q}(j)$ 的整数环，且 $j^2+j+1=0$。我们通过某些四元数代数 $\mathcal{H}$ 中的 Atkin-Lehner 元素做到这一点。我们利用这一事实来计数序 $\mathcal{O}\subset\mathcal{H}$ 中 3 阶元素的共轭类个数。