作为有理多面体格点枚举器的 Dedekind-Carlitz 多项式

我们研究 Dedekind-Carlitz 多项式 $c(u,v;a,b) := \sum_{k=1}^{b-1} u^{\lfloor ka/b \rfloor} v^{k-1}$ 的高维类比，其中 $u$ 和 $v$ 为不定元，$a$ 和 $b$ 为正整数。Carlitz 证明了这些多项式满足互反律 $(v-1) c(u,v;a,b) + (u-1) c(v,u;b,a) = u^{a-1} v^{b-1} - 1$，由此可轻易推导出关于 Dedekind 和及其推广的许多经典互反定理。我们阐明 Dedekind-Carlitz 多项式自然出现在有理锥的生成函数中，并利用这一事实给出了 Carlitz 互反律及其各种推广的几何证明。我们的方法产生了关于 Dedekind-Carlitz 多项式的新互反定理和计算复杂度结果，给出了用三角形中格点生成函数刻画 Dedekind-Carlitz 多项式的方法，并将关于 Dedekind 和出现在三维格点多面体 Ehrhart 多项式中的 Mordell-Pommersheim 定理推广到了多变量情形。