高维广义 Dedekind 和的 Rademacher 函数类比

我们考虑 $n$ 维中的广义 Dedekind 和，其定义为周期性 Bernoulli 函数值的乘积之和，针对固定的自然数 $n$ 元组。这包括 Zagier 的高维 Dedekind 和、Apostol-Carlitz 的广义 Dedekind 和以及原始的 Dedekind 和。这些和被实现为格点锥 Todd 级数的系数，并满足由 Todd 级数的上循环性质导出的互反律。利用迭代留数公式，我们计算了与定义 Dedekind 和的格点锥的非奇异分解相对应的 Todd 级数分解的系数。我们关联了一个 Laurent 多项式，将其加到固定指数的广义 Dedekind 和中，使其分母有界。我们用 Bernoulli 数显式地给出了该分母。这推广了由 Rademacher 函数与经典 Dedekind 和之差给出的有理函数所起的作用。利用广义 Rademacher 函数的整数性，我们将一个指数和与广义 Dedekind 和相关联。我们证明该指数和具有非平凡界，足以满足 Weyl 等分布准则，从而广义 Dedekind 和的小数部分是等分布的。作为一个例子，针对三维情形和 Zagier 对 Dedekind 和的高维推广，我们计算了相关的 Laurent 多项式。