Frobenius 问题、有理多胞体与 Fourier-Dedekind 和

我们研究正整数 $a_1,...,a_n$ 下有理多胞体 $P = (x_1,...,x_n) \in \R_{\geq 0}^n : \sum_{k=1}^n x_k a_k \leq 1$ 的整数膨胀中的格点数。该多胞体与 Frobenius 线性丢番图问题密切相关：给定互素正整数 $a_1,...,a_n$，求使得 $m_1 a_1 + ... + m_n a_n = t$ 在正整数 $m_1,...,m_n$ 中无解的最大 t 值（Frobenius 数）。这等价于求使得面 $\sum_{k=1}^n x_k a_k = t$ 不含格点的最大膨胀 tP。我们给出两种计算 P 的 Ehrhart 拟多项式的方法，这些多项式计数膨胀多胞体及其内部的整数点。在计算中出现类 Dedekind 有限 Fourier 和。我们得到这些和的互反律，推广了 Gessel 的定理。作为公式推论，我们重新导出 Zagier 高维 Dedekind 和的互反律。最后，我们给出 Fourier-Dedekind 和的界，并用其给出 Frobenius 数的新界。