实数稀疏多面体的 Ehrhart准多项式

本文研究有理 $n$ 多面体 $P$ 的 Ehrhart 函数 $L(P,t)$，其定义为实数 $t\ge 0$ 下稀疏多面体 $tP$ 中的格点数。结果发现 $L(P,t)$ 是实变量 $t$ 的准多项式，即 $$L(P,t)=\sum_{k=0}^{n} c_k(P,t)t^k, \quad t\ge 0,$$其中 $c_k(P,t)$ 为 $aff P$ 包含原点时为 $n-k$ 次的周期分段多项式，否则为几乎处处为零的周期函数。当 $P$ 为有理单纤形 $\sigma$ 时，系数函数 $c_k(\sigma,t)$ 可用单纤形 $\sigma$ 的顶点信息显式给出。此外， reciprocity 定律仍然成立。