数值半群除以正整数所得商集的首批元素

给定三个两两互素的正整数 $a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{Z}^+$，我们证明了对于每一个 $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$，由三个商集 $\frac{\langle a_i,a_j \rangle}{a_k}$ 的首批元素构成的集合之间存在一种关系。随后，我们利用这一结果给出了 Frobenius 数 $g(a_1,a_2,a_3)$ 的 Johnson 半显式公式的改进版本，该版本对 $a_1,a_2,a_3$ 的选择不加限制，并给出了一类特定数值半群的显式公式。