Erdős-Rényi随机数值半群的统计量

对于小参数 $p>0$，令 $\mathcal A \subseteq \mathbb{Z}_{>0}$ 为一个随机子集，其中每个正整数以概率 $p$ 独立地被包含。我们证明，以高概率（当 $p \to 0$ 时），由 $\mathcal A$ 生成的数值半群 $\langle\mathcal A\rangle:=\{a_1+\cdots+a_k: k \geq 0, a_1, \ldots, a_k \in \mathcal A\}$ 的Frobenius数和亏格的规模为 $\asymp p^{-1}(\log p^{-1})^2$，嵌入维数的规模为 $\asymp (\log p^{-1})^2$。这解决了Bogart和第二作者提出的一个公开问题。