外平方与对称平方 $L$-函数的有理性结果

设 $G={\rm GL}_{2n}$ 定义于全实数域 $F$ 上，且 $n\geq 2$。设 $\Pi$ 为 $G(\mathbb A)$ 的一个上尖自守表示，它是上同调的且为来自 SO$(2n+1)$ 的函子提升。后一条件等价地重述为：$\Pi$ 的外平方 $L$-函数在 $s=1$ 处具有极点。在本文中，我们证明了附着于 $\Pi$ 的外平方 $L$-函数在 $s=1$ 处的留数以及对称平方 $L$-函数在 $s=1$ 处的全纯值的有理性结果。在此过程中，我们还证明了 Rankin--Selberg $L$-函数在 $s=1$ 处留数的有理性结果，这与我们近期与 Harris 和 Lapid 合作的论文精神高度一致，也与 Balasubramanyam--Raghuram 近期文章中的主要结果之一相契合。