$L$-函数的特殊值与精化 Gan-Gross-Prasad 猜想

我们证明了在任意 CM-域 $F$ 上，Asai $L$-函数 $L^S(s,\Pi',{\rm As}^\pm)$ 和 Rankin-Selberg $L$-函数 $L^S(s,\Pi\times\Pi')$ 的显式有理性结果，将临界值与 $(2\pi i)$ 的显式幂次联系起来。除了将阿基米德 zeta-积分的贡献确定为 $(2\pi i)$ 的具体幂次外，我们方法的一个优势在于它适用于 ${\rm GL}_n(\mathbb A_F)$ 的非常一般的非尖点等变自守表示 $\Pi'$。作为一个应用，这使我们能够为全定酉群建立由 N. Harris 精化的 Gan--Gross--Prasad 猜想的某种代数版本。作为另一个应用，我们得到了 Harder--Raghuram 关于连续临界值之商的结果的推广，该结果由他们针对全实域证明，而本文在任意 CM-域 $F$ 和相对秩为一的对 $(\Pi,\Pi')$ 上得以实现。