临界带边缘上 $L$-函数的显式界

在假设 GRH 与 Ramanujan-Petersson 猜想下，我们证明了一大类 $L$-函数 $L(s,f)$（包括附着于 $GL(n)$ 上自守尖形式者的 $L$-函数）的 $L(1,f)$ 的显式界。该证明推广了 Lamzouri、Li 与 Soundararajan 的工作。此外，主要结果改进了 Littlewood 的经典界$$(1+o(1))\left(\frac{12e^{\gamma}}{\pi^2}\log\log C(f)\right)^{-d} \leq |L(1,f)|\leq (1+o(1))\Big(2e^{\gamma}\log\log C(f)\Big)^d,$$其中 $C(f)$ 是 $L(s,f)$ 的解析导子。