广泛分离集合上 HRT 猜想的一个证明

给定 $f \in C_0(\mathbb{R}^n)$ 以及 $\Lambda \subset \mathbb{R}^{2n}$ 一个有限集，我们证明了当时频平移集合 $\mathcal{G}(f, \Lambda) = \{\pi(\lambda)f\}_{\lambda\in \Lambda}$ 中 $\Lambda$ 各点的时间坐标相对于 $f$ 的衰减相距很远时，该集合线性无关。作为推论，我们证明对任意 $f \in C_0(\mathbb{R}^n)$ 及有限 $\Lambda \subset \mathbb{R}^{2n}$，存在无穷多个伸缩 $D_r$ 使得 $\mathcal{G}(D_rf, \Lambda)$ 线性无关。此外，我们证明了对于如 $f(t) = \frac{cos(t)}{|t|}$ 这样具有奇异性且在奇异性任意邻域外有界的函數，$\mathcal{G}(f, \Lambda)$ 线性无关。