Sznitman 关于弹道型随机环境随机游走的猜想的证明

我们考虑 $\mathbb Z^d$（$d\ge 2$）中均匀椭圆独立同分布随机环境下的随机游走。人们相信，只要随机游走在给定方向上暂态，它就必然是弹道型的。为量化证明此等价性所需的差距，已引入若干弹道性条件。特别地，在 2001 与 2002 年，Sznitman 定义了所谓的条件 $(T)$ 与 $(T')$。前者要求某些从一组板条中逸出的小概率随其宽度 $L$ 指数快速衰减。后者要求对所有 $\gamma\in (0,1)$ 条件 $(T)_\gamma$ 均满足，而 $(T)_\gamma$ 又定义为存在 $C>0$ 使得衰减形如 $e^{-CL^\gamma}$。本文中我们证明 Sznitman 于 2002 年提出的一个猜想，即 $(T)$ 与 $(T')$ 等价。由此闭合了循环，证明了如 Sznitman 所猜想的 $(T)$、$(T')$ 与对某个 $\gamma\in (0,1)$ 的 $(T)_\gamma$ 的等价性，也证明了这些弹道性条件各自与 Berger、Drewitz 和 Ramirez 于 2014 年引入的多项式条件 $(P)_M$（$M\ge 15d+5$）的等价性。