Hall-Littlewood 多项式某些积分恒等式的 p 进解释

若将 $Gl_{2n}$ 的不可约表示 $V_{\lambda}$ 限制到正交群（分别为辛群），当且仅当 $\lambda$ 的所有部分均为偶数（分别为共轭分划 $\lambda'$ 为偶数）时，平凡表示出现的重数为 1。此陈述可重述为涉及 Schur 函数（即相应特征标）的积分恒等式。Rains 和 Vazirani 考虑了此类积分恒等式的 $q,t$-推广，并利用仿射 Hecke 代数技术证明了它们。在最近的一篇论文中，我们研究了 $q=0$ 极限（Hall-Littlewood），并为这些恒等式提供了直接的组合论证；该方法导致了各种推广以及 Warnaar 最近一个求和恒等式的有限维类比。在本文中，我们利用 $p$ 进表示论重新表述了其中一些结果；这与 Schur 情形下的表示论解释平行。恒等式的非零值被解释为特定的 $p$ 进测度计数。该方法提供了这些恒等式（以及一个新恒等式）的 $p$ 进解释以及独立的证明。作为应用，我们获得了一个新的 Littlewood 求和恒等式，推广了 Littlewood 和 Macdonald 的经典结果。最后，我们的 $p$ 进方法还导出了一个用 Littlewood-Richardson 系数和 Hall 多项式表示的广义积分恒等式。