关于 Cohen-Eisenstein 级数傅里叶系数的注记

我们证明了平方自由级 $N$ 的权 $3/2$ Cohen-Eisenstein 级数的系数公式。该公式推广了 Gross 的结果，并特别证明了 Quattrini 的一个猜想。设 $l$ 为奇素数。对于任意定义在 $\mathbb{Q}$ 上、秩为零且具有平方自由导子 $N$ 的椭圆曲线 $E$，若 $l \mid |E(\mathbb{Q})|$，则在关于 Shafarevich-Tate 群 $III_D$ 的某些条件下，我们证明 $l$ 整除 $|III_D|$ 当且仅当 $l$ 整除 $\mathbb{Q}(\sqrt{-D})$ 的类数 $h(-D)$。