关于马尔可夫链中基于投影的簇恢复的一个注记

设 $T_0$ 为一个纯簇马尔可夫链的转移矩阵，即 $k \geq 2$ 个不可约随机矩阵的直接和。给定 $T_0$ 的一个扰动 $T(x) = T_0 + xE$，使得 $T(x)$ 也是随机矩阵，为使我们可以恢复 $T_0$ 各直和项的指标，$x$ 必须有多小？我们给出了一个基于正交投影矩阵的简单算法，该投影矩阵作用于 $I - T(x)$ 对应于 $k$ 个最小奇异值的左或右奇异子空间，当 $x = O\left(\frac{\sigma_{n - k}}{||E||_2\sqrt{n_1}}\right)$ 时可实现所有簇的精确恢复，当 $x = O\left(\frac{\sigma_{n - k}}{||E||_2}\right)$ 时可实现单个簇的近似恢复，其中 $n_1$ 为最大簇的大小，$\sigma_{n - k}$ 为 $T_0$ 的第 $(k + 1)$ 小奇异值。