关于 Dixit、Roy 与 Zaharescu 一个积分的注记

在最近一篇论文中，Dixit 等 [Acta Arith. {\bf 177} (2017) 1--37] 提出两个开放问题：当 $k$ 为正偶数和奇数时，积分 $${\hat J}_{k}(\alpha)=\int_0^\infty\frac{xe^{-\alpha x^2}}{e^{2\pi x}-1}\,{}_1F_1(-k,3/2;2\alpha x^2)\,dx$$ 对 $\alpha>0$ 能否以闭式求值。我们确立 ${\hat J}_{k}(\alpha)$ 可表示为一个高斯超几何函数与两个伽马函数之比，加上一个表示为积分的余项。得到了余项的上界，并证明当 $a=O(1)$ 且 $k$ 变大时该余项是指数小的。