一些涉及正弦、余弦、指数与对数积分的非初等积分的计算：第一部分

非初等积分 $\text{Si}_{\beta,\alpha}=\int [\sin{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx,\beta\ge1,\alpha\le\beta+1$ 和 $\text{Ci}_{\beta,\alpha}=\int [\cos{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx, \beta\ge1, \alpha\le2\beta+1$，其中 $\{\beta,\alpha\}\in\mathbb{R}$，用超几何函数 $_{1}F_2$ 和 $_{2}F_3$ 进行计算，并推导了它们在 $|x|\gg1$ 时的渐近表达式。形如 $\int [\sin^n{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx$ 和 $\int [\cos^n{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx$ 的积分（其中 $n$ 为正整数）用 $\text{Si}_{\beta,\alpha}$ 和 $\text{Ci}_{\beta,\alpha}$ 表示，然后进行计算。$\text{Si}_{\beta,\alpha}$ 和 $\text{Ci}_{\beta,\alpha}$ 也用超几何函数 $_{2}F_2$ 进行计算。由此，超几何函数 $_{1}F_2$ 和 $_{2}F_3$ 用 $_{2}F_2$ 表示。指数积分 $\text{Ei}_{\beta,\alpha}=\int (e^{\lambda x^\beta}/x^\alpha) dx$（其中 $\beta\ge1$ 且 $\alpha\le\beta+1$）以及对数积分 $\text{Li}=\int_{\mu}^{x} dt/\ln{t}, \mu>1$ 也用 $_{2}F_2$ 表示，并研究了它们的渐近表达式。发现对于 $x\gg\mu$，有 $\text{Li}\sim {x}/{\ln{x}}+\ln{\left(\frac{\ln{x}}{\ln{\mu}}\right)}-2-\ln{\mu}\hspace{.075cm} _{2}F_{2}(1,1;2,2;\ln{\mu})$，其中项 $\ln{\left(\frac{\ln{x}}{\ln{\mu}}\right)}-2-\ln{\mu}\hspace{.075cm} _{2}F_{2}(1,1;2,2;\ln{\mu})$ 被添加到数学文献中已知的表达式 $\text{Li}\sim {x}/{\ln{x}}$ 上。