二维 Ising 模型配分函数的超几何级数

Onsager 于 1944 年发表了无限方格 Ising 模型配分函数的公式。他能够将内能用特殊函数表示，但将自由能留作定积分形式。七十年后，即使借助特殊函数，配分函数和自由能尚未写成闭式。在此，我们利用超几何级数显式计算该定积分。设 $\beta$ 表示逆温度，$J$ 为耦合常数，$f$ 为每自旋自由能。我们证明 $-\beta f = \ln(2 \cosh 2K) - \kappa^2\, {}_4F_3 [1,1,\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2};\ 2,2,2 ;\ 16 \kappa^2 ]$，其中 $_p F_q$ 是广义超几何函数，$K=\beta J$，且 $2\kappa= {\rm tanh} 2K {\rm sech} 2K$。