非初等积分 $\int e^{\lambda x^\alpha} dx, \alpha\ge2$ 及其他相关积分的计算

针对非初等积分 $\int e^{\lambda x^\alpha} dx$，其中 $\alpha$ 为实数且大于等于 2，利用合流超几何函数 $_1F_1$ 得到了一个公式。通过使用合流超几何函数的渐近表达式和微积分基本定理（FTC）直接计算对应于 $\alpha = 2$ 的高斯钟形曲线下的面积，验证了这一结果。对于积分 $\int \cosh(\lambda x^\alpha)dx$、$\int \sinh(\lambda x^\alpha)dx$、$\int \cos(\lambda x^\alpha)dx$ 和 $\int \sin(\lambda x^\alpha)dx$，$\lambda\in \mathbb{C}, \alpha\ge2$，分别得到了两种不同但等价的表达式，一种用合流超几何函数 $_1F_1$ 表示，另一种用超几何函数 $_1F_2$ 表示。并将超几何函数 $_1F_2$ 用合流超几何函数 $_1F_1$ 表达。给出了非初等积分 $\int e^{\lambda x^\alpha}dx,\alpha\ge2$ 的一些应用，如高斯分布和麦克斯韦-玻尔兹曼分布。