关于 $R^n$ 中的单位球面和单位球面上单项式积分

我们计算单位球面和单位球中形式为 $x^{2\beta}$ 的单项式积分，其中 $\beta = (\beta_1,...,\beta_n)$ 为具有实数分量 $\beta_k > -1/2$ 的多指标，$1 \le k \le n$，并讨论当某些或所有 $\beta_k \to \infty$ 时的渐近行为。这使得能够评估涉及圆形和双曲正切函数在单位球面和单位球上的积分。我们还考虑限制在 $R^n$ 中单位球面上的单项式 $x^\alpha$ 的傅里叶变换，其中多指标 $\alpha$ 的分量为整数，讨论其在原点的行为。