关于随机设计回归模型中具有有限样本有效性的自适应拟合优度检验的注记

给定来自随机设计回归模型 $Y = f(X) + \epsilon$ 的独立同分布样本 $\{(X_i,Y_i)\}_{i \in \{1 \ldots n\}}$，其中 $(X,Y) \in [0,1] \times [-M,M]$，本文考虑针对固定的 $f_0 \in L^2([0,1],G_X)$ 检验（简单）原假设 $f = f_0$ 对立备择假设 $f \neq f_0$ 的问题，这里 $G_X(\cdot)$ 表示设计变量 $X$ 的边缘分布。所提出的过程是 Fromont 和 Laurent (2005) 引入的多重检验技术在回归设定下的适配，其核心是考虑 $L^2$ 距离 $d_2(f,f_0) = \int {[f(x) - f_0 (x)]^2 d\,G_X (x)}$ 的适当无偏估计量集合，当其中至少一个估计量大于其 $(1-u_\alpha)$ 分位数时拒绝原假设，其中 $u_\alpha$ 经过校准以获得水平为 $\alpha$ 的检验。为了构建这些估计量，我们将使用 Picard 和 Kerkyacharian (2004) 引入的扭曲小波基。我们不假设误差服从正态分布，也不假设 $X$ 和 $\epsilon$ 独立，但主要出于技术原因，我们将像当前学习理论文献的大部分内容一样，假设 $|f(x) - y|$ 是一致有界的（几乎处处）。我们表明，我们的检验在与经典 Besov 空间相关的特定逼近空间集合上是自适应的。