多元非参数回归中的极小极大拟合优度检验

我们考虑一个定义在 $\Delta=[0,1]^d$ ($1\le d\le\infty$) 上的未知响应函数 $f$，在 $n$ 个随机均匀设计点上取值，并观测到带有已知方差高斯噪声的数据。给定一个正序列 $r_n\to 0$ (当 $n\to\infty$ 时) 和一个已知函数 $f_0 \in L_2(\Delta)$，我们在一般条件下提出了一个统一的框架，用于检验原假设 $H_0: f=f_0$ 对备择假设 $H_1: f\in\CF, \|f-f_0\|\ge r_n$ 的拟合优度检验问题，其中 $\CF$ 是希尔伯特空间 $L_2(\Delta)$ 中关于张量积傅里叶基的一个椭球，$\|\cdot\|$ 是 $L_2(\Delta)$ 中的范数。我们在极小极大设定下获得了误差概率的速率渐近和精确渐近。所导出的检验本质上是非自适应的。文中给出了几个说明性例子。特别地，我们考虑了属于由著名的多维 Sobolev 范数和张量积 Sobolev 范数，以及较少为人知的 Sloan-Wo$\rm\acute{z}$niakowski 范数和由复带上的多元解析函数构造的范数所导出的椭球中的函数。此外，还简要讨论了所提出的极小极大拟合优度检验方法的一些扩展，涵盖了具有已知乘积概率密度函数的一般设计方案、未知方差、其他基函数以及所建议检验的自适应性等情况。