微分多项式上的一种新分级代数结构：水平分级及其在1+1维标量演化方程分类中的应用

我们定义了一种新的分级，称之为“水平分级”，作用于由导数$u_{k+i}=\partial^{k+i}u/\partial x^{k+i}$在$u,u_1,...,u_k$的$C^{\infty}$函数环$K^{(k)}$上生成的多项式代数。该分级具有如下性质：关于$x$的全导数和分部积分是滤过代数映射。此外，如果$u$满足演化方程$u_t=F[u]$且$F$是水平齐次微分多项式，那么关于$t$的全导数$D_t$也是一个滤过代数映射。进一步地，如果$\rho$在$K^{(k)}$上是水平齐次的，则$D_t\rho$的顶层部分仅依赖于$u_k$。这一性质允许从守恒密度条件的顶层部分确定$F[u]$对$u_k$的依赖关系。我们将此结构应用于“水平齐次”标量演化方程的分类，并得到了在阶数$m=5,7,9,11,13,15$处允许不间断守恒密度序列的“KdV型”可积演化方程的顶层部分。