Darboux-Treibich-Verdier 势的谱包含于 $\mathbb{R}$ 的充要条件

本文研究复 Hill 算子 $L=\frac{d^2}{dx^2}+q(x;\tau)$ 在 $L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$ 中的谱，其具有 Darboux-Treibich-Verdier 势 $$q(x;\tau):=-\sum_{k=0}^{3}n_{k}(n_{k}+1)\wp \left( x+z_0+\tfrac{\omega_{k}}{2};\tau \right),$$ 其中 $n_k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 且 $\max n_k\geq 1$，$z_0\in\mathbb{C}$ 的选取使得 $q(x;\tau)$ 在 $\mathbb{R}$ 上无奇点。对任意固定的 $\tau\in i\mathbb{R}_{>0}$，我们给出关于 $(n_0,n_1,n_2,n_3)$ 的充要条件，以保证谱 $\sigma(L)$ 为 $$\sigma(L)=(-\infty, E_{2g}]\cup[E_{2g-1}, E_{2g-2}]\cup \cdots \cup[E_{1}, E_{0}],\quad E_j\in \mathbb{R},$$ 从而将 Ince 于 1940 年对 Lam\'{e} 势的著名结果推广到 Darboux-Treibich-Verdier 势。我们还确定了每个有界区间 $(E_{2j-1}$, $E_{2j-2})$ 中（反）周期特征值的个数，推广了近期文献 \cite{HHV} 中研究 Lam\'{e} 情形 $n_1=n_2=n_3=0$ 的结果。