四面体顶点星上样条的下界

所有四面体均交于同一顶点的四面体复形称为\textit{顶点星}。顶点星是平面三角剖分的自然推广，理解顶点星上的样条是分析三元样条的关键一步。计算顶点被四面体完全包围的顶点星上的样条维数尤为困难——我们称此类为\textit{闭}顶点星。Alfeld、Neamtu 与 Schumaker 给出的公式给出了次数至少为 $3r+2$ 的闭顶点星上 $C^r$ 样条的维数。我们证明该公式是次数至少为 $(3r+2)/2$ 的 $C^r$ 样条维数的下界。我们的证明使用了配极以及顶点星内界面所对偶的点集的所谓\textit{Waldschmidt 常数}。我们还用 Whiteley 的一个论证表明，在一般闭顶点星上次数不超过 $(3r+1)/2$ 的样条仅为全局多项式。