正四面体和正八面体堆积密度的上界

我们得到了正四面体堆积密度的上界。该上界通过证明在任何正四面体堆积中，存在一组以四面体棱边为中心的互不相交的球体，使得每个球体未被堆积完全覆盖而获得。每个球体中未被覆盖空间量的下界以递归方式得到，其基础是观察到：如果一个点位于四面体棱边上，则互不重叠的正四面体无法在该点周围张成 $4\pi$ 的立体角。该证明可容易地修改以适用于具有相同性质的其他多面体。所得的正四面体堆积中空隙空间比例的下界为 $2.6\ldots\times 10^{-25}$，对于正八面体则达到 $1.4\ldots\times 10^{-12}$。