爱因斯坦稀释悬浮液有效黏度公式的局部版本

我们证明了稀释悬浮液有效黏度的爱因斯坦公式的一个局部变体，即 $\mu^\prime=\mu (1+\frac 5 2\phi+o(\phi))$，其中 $\phi$ 为悬浮颗粒的体积分数。迄今为止，严格的论证仅针对流场的耗散泛函获得。我们证明该公式在斯托克斯方程（具变黏度）的层面上成立。我们考虑这样一种情形：悬浮在流体中的颗粒数 $N$ 趋于无穷，而其尺寸 $R$ 与体积分数 $\phi=NR^3$ 趋于零。我们建立了微观解与均匀化方程解之差的 $L^\infty$ 与 $L^p$ 估计。此处我们假设颗粒包含于有界区域内，且以最小距离与平均距离相当的意义下良好分离。证明的主要工具是悬浮流场的偶极近似、所谓反射法以及体积密度的粗粒化。