二次多项式动力学中的局部-全局原理

设 $K$ 为一个数域，$f\in K[x]$ 为二次多项式，且 $n\in\{1,2,3\}$。我们证明若 $f$ 在 $K$ 的每个非阿基米德完备化中有一个周期 $n$ 的点，则 $f$ 在 $K$ 中有一个周期 $n$ 的点。对 $n\in\{4,5\}$，我们证明在 $K$ 上至多存在有限多个二次多项式的线性共轭类使得此局部-全局原理失败。通过考虑此原理的更强形式，我们加强了 Morton 以及 Flynn-Poonen-Schaefer 在 $K=\mathbf Q$ 情形下得到的全局结果。更精确地，我们证明对每个二次多项式 $f\in\mathbf Q[x]$，存在无穷多个素数 $p$ 使得 $f$ 在 $p$ 进域 $\mathbf Q_p$ 中没有周期 4 的点。在知晓一条特定亏格 11 曲线的所有有理点的条件下，对周期 5 的点证明了同样结果。